Elogio della insostenibile leggerezza del nulla
Attenzione a quello che dite: “Non vale niente, conta quanto zero, dopo c’è il nulla”. Non c’è nulla che valga quanto il niente, lo zero conta più di tutti gli altri numeri che lo seguono, il senso lo trovi nel nulla. La lettura di questo libro lo dice chiaro e tondo.
“Niente è più interessante di niente, niente è più sconcertante di niente e niente è più importante di niente. Per i matematici, niente è uno dei loro argomenti preferiti, un vero vaso di Pandora di curiosità e paradossi. Ciò che sta al cuore della matematica. Avete indovinato: niente.
Giochi di parole come questo sono quasi irresistibili quando non si parla di niente, ma nel caso della matematica si tratta di barare leggermente. Ciò che sta nel cuore della matematica non è correlato al nulla, ma non è proprio la stessa cosa. ‘Niente’ è beh, niente. Un vuoto. Assenza totale di entità. Lo zero, tuttavia, è sicuramente una cosa. È un numero. È, infatti, il numero che ottieni quando conti le tue arance e non ne hai. E zero ha causato più angoscia ai matematici e ha dato loro più gioia di qualsiasi altro numero.
Zero, come simbolo, fa parte della meravigliosa invenzione della ‘notazione del luogo’. Le prime notazioni per i numeri erano strane e meravigliose, un buon esempio sono i numeri romani, in cui il numero 1.998 risulta come MCMXCVIII mille (M) più cento meno di mille (CM) più dieci meno di cento (XC) più cinque (V) più uno più uno più uno (III). Prova a fare aritmetica con quel lotto. Quindi i simboli venivano usati per registrare i numeri, mentre i calcoli venivano eseguiti usando l’abaco, accumulando pietre in file nella sabbia o spostando perline fili.
Ad un certo punto, qualcuno ha avuto la brillante idea di rappresentare lo stato di una fila di perline con un simbolo — non il nostro attuale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ma qualcosa di abbastanza simile. Il simbolo 9 rappresenterebbe nove perline in ogni riga — novemila, novecento, nove decine, nove unità. La forma del simbolo non ti diceva quale, non più di quanto non facesse il numero di perline su un filo dell’abaco. La distinzione era che si trova nella posizione del simbolo, che corrispondeva alla posizione del filo.
Nella notazione 1998, ad esempio, il primo 9 significa novecento e il secondo novanta. “L’idea della notazione del luogo rendeva piuttosto importante avere un simbolo per una fila vuota di perline. Senza di esso, non si poteva distinguere tra 14, 104, 140 e 1400. Quindi all’inizio il simbolo per lo zero era intimamente associato al concetto di vuoto, piuttosto che essere un numero a sé stante. Ma nel VII secolo, questo aveva iniziato a cambiare. L’astronomo indiano Brahmagupta spiegò che moltiplicando un numero per 0 si ottiene 0 e che sottraendo 0 da un numero a sinistra il numero intatto usando 0 in aritmetica sullo stesso piano degli altri numeri, ha mostrato che 0 aveva una numerazione genuina.
Il vaso di Pandora ora era spalancato, e quello che esplose non era niente. E che niente glorioso, selvaggio e irritante era. I risultati ottenuti facendo aritmetica con zero erano spesso curiosi, così curiosi a volte da doverli vietare. L’addizione ha lo stesso effetto della sottrazione: il numero è rimasto lo stesso. I puristi linguistici possono obiettare che lasciare qualcosa invariato difficilmente equivale ad addizione, ma i matematici generalmente preferiscono la comodità alla purezza linguistica. La moltiplicazione per zero, come diceva Brahmagupta, dava sempre zero. Fu con la divisione che si instaurarono i seri guai.
Dividere 0 per un numero diverso da zero è facile: il risultato è 0. Perché? Perché 0 diviso per 7, diciamo, dovrebbe essere ‘qualunque numero dia 0 moltiplicato per 7’ e 0 è l’unica cosa che si adatta al conto Ma cos’è 1 diviso 0? Deve essere ‘qualunque numero dia 1 moltiplicato per 0.’ Sfortunatamente, qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 e non 1, quindi non esiste un tale numero.La divisione per zero è quindi vietata, motivo per cui le calcolatrici mettono un messaggio di errore se lo provi.
Invece di vietare frazioni come 1 diviso per 0, è possibile rilasciare ancora un altro irritante dal riquadro matematico di Pandora — definendo 1 diviso per 0 come ‘infinito.’ L’infinito è ancora più strano di zero; il suo utilizzo dovrebbe sempre essere accompagnato da un avvertimento del governo: “L’infinito può danneggiare seriamente i tuoi calcoli”. Qualunque sia l’infinito, non è un numero nel senso comune, quindi per lo più è meglio evitare cose come 1 diviso per 0.
Scusate: la maledizione di Pandora non si elude così facilmente. Che ne dite di 0 diviso per 0? Ora il problema non è l’assenza di candidati idonei, ma un loro imbarazzo. Anche in questo caso, 0 diviso per 0 dovrebbe significare ‘qualunque numero dia 0 quando moltiplicato per 0.’ Ma poiché questo è vero qualunque numero usi per dividere, a meno che tu non stia molto attento, puoi cadere in molte trappole logiche — la più semplice è la ‘dimostrazione’ che 1 = 2 perché entrambi sono uguali a 0 quando sono divisi per 0 . Quindi anche 0 diviso per 0 è proibito.”
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